Задача Диофанта — описание и решение

В 1979 году мне удалось приобрести книгу в русском переводе «Творцы математики» известного американского историка математики Эрика Темпла Белла, изданную в США в 1937 году (Книгу в формате djvu можно скачать  здесь ). . В книге один из её очерков посвящён Пьеру Ферма как королю любителей математики. По утверждению Э.Т. Белла, Ферма имел привычку, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. На полях второй книги «Арифметики», комментируя восьмую задачу Диофанта, Ферма написал:

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы» /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /.

Комментарий к задаче Диофанта, когда он был обнародован после смерти Ферма, получил название великой теоремы Ферма. В такой формулировке мне до этого времени она не была известна.

Размышления над примечанием Ферма к задаче Диофанта и размышления над задачей и её уравнением меня привели к предположению, что Ферма не написал условия теоремы и написал лишь её заключение, которое без её условия доказать невозможно в принципе. Условие теоремы определяет как её заключение, так и метод доказательства. По-моему, теорема Ферма такова:

«Если уравнение

  a 2 = x 2 + y 2 (1)

имеет бесконечное множество решений на множестве всех троек пифагоровых чисел, то, наоборот, уравнение

  x n + y n = z n,   где n > 2 (2)

не имеет решений на множестве целых положительных чисел.»

.

После Ферма его комментарий к задаче Диофанта не только принял форму уравнения (2). Гораздо важнее и существенно то, что оно оказалось лишённым необходимой связи с уравнением (1) и принятым одновременно за условие и заключение великой теоремы Ферма. Других причин многолетних безуспешных поисков, я предположил, что Пьер Ферма не написал условия теоремы, а написал лишь её заключение, которое без условия теоремы доказать невозможно. Иной причины многолетних безуспешных поисков доказательства уравнения (2) я не нашёл. Включение уравнения (1) в великую теорему Ферма в качестве её условия не открывало путь к успешному поиску доказательства уравнения (2), а требовало в первую очередь детального исследования решений уравнения (1) на множестве всех троек пифагоровых чисел.

Историк математики Э.Т. Белл принимает восьмую задачу Диофанта в форме уравнения (1), в котором квадраты двух переменных x 2 и y 2 слагаются в a 2, поскольку мы читаем слева направо. Математики древних народов читали и писали справа налево и при жизни Диофанта могли рассматривать данное уравнение с противоположной стороны:

  a 2 = x 2 + y 2 (3)

Любое решение уравнения (3) представляет собой ( a, x, y ) тройка пифагоровых чисел. Каждая тройка пифагоровых чисел привязана к своему определённому натуральному числу, которое является и её индивидуальным порядковым номером. Между тройкой пифагоровых чисел и её номером, присутствующим в натуральном ряду чисел, существует взаимно однозначное соответствие.

Так, если дан индивидуальный номер, то по трём формулам можно определить числа тройки (a, x, y), а если дана тройка пифагоровых чисел, то можно по тем же формулам определить её индивидуальный номер.

Нечетное натуральное число N = 2k + 1 . К нему «привязана» тройка пифагоровых чисел. Числа тройки определяются по формулам:

k = 1,  2,   3,  … N = 3,  k = 1 (  y = 3,  x = 4,  a = 5  )
 y =  N =  2k  +  1  N  =5,  k = 2  (  y  =  5,  x  =  12,  a  =  13  )
  ( 2k + 1 ) 2   —  1
2
N  =  7,  k  =  3 (  y  =  7,  x  =  24,  a  =  25  )
  ( 2k + 1 ) 2   +  1
2
N  =  9,  k  =  4 (  y  =  9,  x  =  40,  a  =  41  )
  N  =  11,  k  =  5 (  y  =  11,  x  =  60,  a  =  61  )
      и   т.  д.

Чётное число N = 2k. К нему «привязана» тройка пифагоровых чисел. ( a, x, y ), её числа определяются по формулам:

  N   =  2 k,   k  =  2,  3,  4,  …  
y = 4 k N = 4,   k = 2 ( y = 8,    x = 15,   a = 17 )
x = 4 k 2 — 1 N = 6,   k = 3 ( y = 12,   x = 35,    a = 37 )
   N = 8,   k = 4 ( y = 16,   x = 63,   a = 65 )
a = 4 k 2 + 1 N = 10,   k = 5 ( y = 99,   x = 99,   a = 101 )
       и т. д.   

Кроме троек пифагоровых чисел, «привязанных» к своему индивидуальному номеру, по которому они определяются указанными формулами, существует бесконечное множество троек пифагоровых чисел, «свободных» от номеров, «безномерных», которые находятся по другим формулам. Например, тройки пифагоровых чисел ( y = 20, x = 21, a = 29 ), ( y = 33, x = 56, a = 65 ) и другие не имеют индивидуальных номеров и дополняют собой множество пифагоровых чисел, имеющих индивидуальные номера.

Если каждому натуральному числу N > 2 соответствует своя определенная тройка пифагоровых чисел, если их счетное множество объединить с множеством «безномерных» пифагоровых чисел, то объединённое множество пифагоровых чисел будет заключать в себе натуральный ряд чисел в качестве подмножества.

В уравнении (3) a 2 получает своё определение и выражение в форме суммы переменных x 2 и y 2 .

Произвольно взятый квадрат числа a 2 в процессе разложения на x 2 и y 2   не изменяет своего числового значения, доказывая свою независимость от числовых значений переменных x 2 и y 2 .

Изменение значений переменных x и y находится в подчинённом отношении к значению постоянной a. Они принимают значения, которые меньше значения a, и только те значения, при которых сумма их квадратов равна квадрату a. Другими словами, область допустимых значений переменных x и y определяется значением постоянной a :    x < a,    y < a.

Нахождение решений уравнения (3), равносильного уравнению (1), сводится:

 

  • к нахождению всего множества троек ПИФАГОРОВЫХ ЧИСЕЛ,
  • к нахождению троек величин ДЛИН прямолинейных отрезков,
  • к нахождению троек величин ПЛОЩАДЕЙ квадратов,
  • к нахождению троек величин ОБЪЁМОВ параллелепипедов.

 

По теореме Пифагора, площадь квадрата, построенного на гипотенузе a прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах x и y.

 

Задача Диофанта
Рис. 1

Между членами уравнения (3) и площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, существует взаимно однозначное соответствие. Можно себе представить, что тройки чисел уравнения (3) сбросили с себя форму натуральных чисел и приняли на себя геометрическую форму сторон и площадей квадратов.

Из данного условия следует заключение: можно разложить площадь квадрата на площади двух квадратов.

Квадраты a 2 , x 2 и y 2 можно рассматривать в трёхмерном пространстве как квадратные основания трёх параллелепипедов одинаковой произвольной высоты h.

Умножим обе стороны уравнения (3) на целое число h. В результате получаем уравнение:

  a 2 h = x 2 h + y 2 h (4)

 

Задача Диофанта

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), так как все решения уравнения (3) являются решениями уравнения (4) и обратно. На левой стороне уравнения (4), произведение a2h можно рассматривать как объём параллелепипеда высотой h, построенного на квадрате гипотенузы a. Высота h может иметь значение любого натурального числа, так что верхнее основание параллелепипеда может оказаться выше облаков. (Рис.2)

На правой стороне уравнения (4) произведение x2h можно рассматривать как объём параллелепипеда высотой h, построенного на квадрате, принадлежащем катету x. Произведение y2h можно рассматривать как объём параллелепипеда высотой h, построенного на квадрате, принадлежащем катету y. Площадь основания параллелепипеда левой стороны уравнения равна сумме площадей оснований параллелепипедов правой стороны уравнения.

При равенстве площади a2 сумме площадей x2 и y2 и при равенстве высот h трёх параллелепипедов объём параллелепипеда, построенного на квадрате, принадлежащем гипотенузе a, разлагается на объемы двух параллелепипедов, построенных на квадратах, принадлежащих катетам x и y. Следовательно, уравнение (4) показывает, что объём параллелепипеда a2h его левой стороны разлагается на объёмы x2h и y2h двух параллелепипедов его правой стороны. Высота h параллепипедов может быть равна любому целому положительному числу, включая: h = a, при котором уравнение (4) обращается в равносильное уравнение.  

  a 3 = x 2 a + x 2 a (5)

Из уравнения (5) следует: куб a разлагается на два параллелепипеда x 2a и y 2a . Оно является равносильным уравнению (1), которое было принято за условие великой теоремы Ферма, нуждающееся в детальном исследовании и освоении всего относящегося к нему материала.

Теперь его исследование выполнено, существование бесконечного множества решений уравнения (5) и равносильного ему уравнения (1) на множестве всех троек пифагоровых чисел установлено окончательно и не может вызывать сомнения. Появилась реальная возможность начать поиск доказательства заключения (2) великой теоремы Ферма, основанием которого является принятое мной её условие (1).

pat_swirls