Решето Эратосфена и доказательство теоремы Ферма

Как известно, Эратосфен изготовил лист «бумаги» из воска и с помощью линейки провёл палочкой на нём на равном расстоянии параллельные горизонтальные и вертикальные линии. Он палочкой внутри клеток воскового листа написал натуральные числа в порядке их возрастания и стал палочкой протыкать составные числа, чтобы внутри клеток остались только простые числа, которые делятся только на два числа: на 1 и сами на себя. В результате Эратосфен получил в одних клетках в полной сохранности простые числа, а в других клетках на месте составных чисел оказались дырочки. Дырявый восковой лист с написанными на нём простыми числами получил название «решето Эратосфена».

Можно себе представить что угодно: кентавра, русалку и Эратосфена, который использует на восковом листе натуральные числа для доказательства великой теоремы Ферма. Он рассматривает тройку натуральных чисел: если она не являются решением уравнения (1) великой теоремы Ферма, то числа строки он протыкает палочкой и на их месте появляются три дырочки. Если все натуральные числа протыкаются, то теорема Ферма доказана.

Во второй книге «Арифметики» Диофанта, на полях против восьмой задачи, состоящей в отыскании рациональных решений уравнения x2 + y 2 = a 2, Ферма написал две следующие фразы:

«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля слишком малы» (Fermat, Oeuvres, 111, p. 241).

После изменения формулировки записи Ферма она вошла в толковый словарь математических терминов в следующей форме:

«Уравнение xn + y n = a n, где n > 2 не имеет решений в целых положительных числах».

В этой форме её пытаются доказать многие поколения профессионалов и любителей математики, но без успеха. Поэтому недоказуемость великой теоремы Ферма на протяжении стольких многих лет должна иметь свою причину.

Причиной, на мой взгляд, является то, что в выражении теоремы в форме уравнения (1), условие и заключение слиты воедино. Из него могут следовать два прямо противоположных заключения. Но из двух возможных заключений присутствует только одно, которое и требуется доказать.

Иначе говоря, условием великой теоремы Ферма является бесконечный ряд натуральных чисел. В нём может присутствовать или хотя бы одно решение уравнения (1), или ни одного его решения. Требуется доказать, что уравнение (1) не имеет ни одного решения в целых положительных числах. Эту особенность в формулировке великой теоремы Ферма очень трудно обнаружить, что я испытал на самом себе. А когда я, наконец, обнаружил, то обнаружил, что метод нахождения решений уравнения (1) аналогичен методу нахождения простых чисел, который был открыт Эратосфеном.

А) Первые три числа (1, 2, 3) могут собой представлять все возможные сочетания трёх элементов из трёх элементов: 

   (3, 2, 2);  (3, 2, 1);  (3, 1, 1) (2)

Все сочетания троек чисел последовательности (2) можно назвать семейством сочетаний трёх чисел из трёх чисел. Большее число 3 является общим, постоянным числом. Остальные два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами.

Если три числа трёх сочетаний возвысить в степень n=3 и сравнить степени, то в результате можно получить семейство степенных неравенств в третьей степени:

    33 > 23 + 23;  33 > 23 + 13;  33 > 13 + 13; (3)

В неравенствах (3) большее число 3 является общим, постоянным числом, а на другой стороне два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Левая большая сторона неравенств (3) не изменяется, а правая меньшая сторона становится ещё меньше. Это означает, что последующее неравенство сильнее предыдущего неравенства. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (3) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. куб большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два куба меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 3 на 1 и возвысим числа сочетаний троек чисел (2) в четвёртую степень. В результате получаются три степенных неравенства в четвёртой степени:

    34 > 24 + 24;  34 > 24 + 14;  34 > 14 + 14; (4)

В степенных неравенствах (4) большее число 3 является общим, постоянным числом, а остальные два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности степенных неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (4) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. биквадрат большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два биквадрата меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 4 на 1 и возвысим числа сочетаний троек чисел (2) в пятую степень. В результате получаются три степенных неравенства пятой степени:

    35 > 25 + 25;  35 > 25 + 15;  35 > 15 + 15; (5)

В неравенствах (5) большее число 3 является общим, постоянным числом, а остальные два меньших числа 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности степенных неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего, так как меньшая сторона предыдущего неравенства ещё меньше у последующего неравенства. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (5) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. невозможно разложить пятую степень большего числа сочетания трех чисел на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Это заключение имеет своим основанием метод математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют определённые свойства трёх сочетаний из трёх чисел в степени n > 3;
2) из предположения о том, что этими свойствами обладают все три сочетания из трёх чисел последовательности степенных неравенств (5) в степени n = k, где k – произвольно взятое целое число, вытекает, что этими свойствами они обладают и в степени n = k + 1. Это означает, что, вообще, при возрастании степени степенных неравенств на 1 неограниченное число раз и до бесконечности, никакую, сколь угодно большую, степень n = 3 большего числа в сочетании тройки чисел, невозможно разложить на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. На множестве натуральных чисел (1,2,3) уравнение (1) не имеет решений при n > 2. Что и требовалось доказать в первую очередь.

В) Увеличим на 1 последовательность натуральных чисел и получим последовательность четырёх чисел (1,2,3,4). Числа данной последовательности могут собой представлять все возможные сочетания трёх элементов из четырёх элементов, т. е. шесть сочетаний трёх чисел из четырёх чисел:

   (4, 3, 3);  (4, 3, 2);  (4, 3, 1);  (4, 2, 2); (4, 2, 1); (4, 1, 1) (6)

В сочетаниях троек чисел последовательности (6), которые можно назвать семейством сочетаний большее число 4 является общим, постоянным числом. Остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Если возвысить в степень n = 3 числа сочетаний из четырёх чисел семейства (6), то в результате можно получить семейство шести степенных неравенств третьей степени:

    43 > 33 + 33;  43 > 33 + 23;  …;   43 > 23 + 13;   4 3> 13 + 13 (7)

В шести неравенствах (7) большее число 4 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Меньшая правая сторона предыдущего неравенства больше правой стороны последующего неравенства. Каждое последующее неравенство сильнее предыдущего неравенства. Следовательно, в последовательности степенных неравенств (7) не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. куб постоянного большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два куба меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 3 на 1 и возвысим числа каждого из шести сочетаний семейства (6) в четвёртую степень. В результате получаются шесть степенных неравенства в четвёртой степени:

    44 > 34 + 34;  44 > 34 + 24;  …;   44 > 24 + 14;   4 4> 14 + 14 (8)

В степенных неравенствах (8) большее число 4 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности (8) неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, среди неравенств четвёртой степени не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. биквадрат большего постоянного числа сочетания трех чисел не разлагается на два биквадрата меньших двух чисел.

Увеличив степень n = 4 на 1, возвышаем числа шести членов семейства в пятую степень. В результате получаем последовательность шести неравенств в пятой степени:

    45 > 35 + 35;  45 > 35 + 25;  …;   45 > 25 + 15;   4 5> 15 + 15 (9)

В степенных неравенствах (9) большее число 4 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности степенных неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в последовательности степенных неравенств не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. невозможно разложить пятую степень большего числа сочетания трех чисел на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Следовательно, среди неравенств четвёртой степени не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. пятую степень числа 4 невозможно разложить на два меньших числа в той же степени. Это заключение имеет основанием своего доказательства метод математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют определённые свойства трёх сочетаний из четырёх чисел в степени n > 3;
2) из предположения о том, что этими свойствами обладают все шесть сочетаний в степени n = k, вытекает, что этими свойствами они обладают и в степени n = k + 1. Это означает, что, вообще, при возрастании на 1 степени трёх чисел в шести сочетаниях из четырёх чисел любое неограниченное число раз, до бесконечности, никакую степень n большего числа 4, невозможно разложить на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Следовательно, на множестве натуральных чисел (1,2,3,4) уравнение (1) не имеет решений.

С) Увеличим последовательность натуральных чисел на 1 и получим последовательность пяти чисел (1,2,3,4,5). Числа данной последовательности могут собой представлять 10 сочетаний трёх чисел из пяти чисел:

   (5, 4, 4);  (5, 4, 3);  …; (5, 2, 2);  (5, 2, 1); (5, 1, 1) (10)

В семействе десяти сочетаний троек чисел большее число 5 является общим, постоянным числом. Остальные четыре меньших числа 4,3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами. Если возвысить в степень n = 3 тройки чисел и сравнить степени, то в результате можно получить семейство десяти степенных неравенств третьей степени:

    53 > 43 + 43;  53 > 43 + 33;  …;   53 > 23 + 13;   5 3> 13 + 13 (11)

В десяти неравенствах (11) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные четыре меньших числа 4,3, 2 и 1 являются особенными, переменными числами, принадлежащими семейству десяти неравенств третьей степени. В последовательности неравенств левое крайнее неравенство имеет постоянную левую сторону меньшей, а переменную правую сторону большей. Уменьшение переменной правой стороны не исключает обращение неравенства в верное равенство. Но для появления равенства нет места, так как сразу появляется неравенство противоположного смысла.

Последующее неравенство имеет постоянную левую сторону и переменную правую меньшую сторону. Её уменьшение исключает возможность обращения неравенства в равенство, так как меньшая правая сторона последующего неравенства меньше правой стороны предыдущего неравенства. Каждое последующее неравенства сильнее предыдущего неравенства. Следовательно, в последовательности десяти неравенств категорически не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. куб большего числа сочетания трех чисел не разлагается на два куба меньших двух чисел.

Увеличим степень n = 3 на 1 и возвысим числа сочетаний троек чисел семейства (10) в четвёртую степень. В результате получаются десять степенных неравенства в четвёртой степени:

    54 > 44 + 44;  54 > 44 + 34;  …;   54 > 24 + 14;   5 4> 14 + 14 (12)

В степенных неравенствах (12) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные три меньших числа 4,3,2 и 1 являются особенными, переменными числами. В последовательности неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего, так как левые стороны неравенств не изменяются, а правые стороны уменьшаются. Следовательно, среди неравенств четвёртой степени не может возникнуть ни одного степенного равенства. Биквадрат большего постоянного числа левой стороны неравенства не разлагается на два биквадрата меньших двух чисел правой стороны неравенств.

Увеличив степень n = 4 на 1, возвышаем числа шести членов семейства в пятую степень. Мы получаем последовательность десяти неравенств в пятой степени:

    55 > 45 + 45;  55 > 45 + 35;  …;   55 > 25 + 15;   5 5> 15 + 15 (13)

В степенных неравенствах (13) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные четыре меньших числа 4,3,2 и 1 являются особенными, переменными числами, принадлежащими семейству неравенств пятой степени. В семействе неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в нём не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. пятая степень большего числа сочетания трех чисел не разлагается на две степени меньших двух чисел с тем же показателем.

Последовательность десяти неравенств (13) пятой степени обладает всеми основными свойствами последовательности десяти неравенств (12) последовательности. Увеличение степени n = 4 на 1 в последовательности десяти неравенств (12) преобразует её в последовательность десяти неравенств (13) не изменяя ни одного основного свойства.

Если продолжить увеличение степени семейства степенных неравенств и дальше, то основные свойства неравенств повышение степени оставляет в полной сохранности, в чём можно убедиться воочию, увеличив на 1 степень n = 5 десяти неравенств последовательности (13):

    56 > 46 + 46;  56 > 46 + 36;  …;   56 > 26 + 16;   5 6> 16 + 16 (14)

В степенных неравенствах (14) большее число 5 является общим, постоянным числом, а остальные четыре меньших числа 4,3,2 и 1 являются особенными, переменными числами, принадлежащими семейству неравенств шестой степени. В семействе неравенств последующее неравенство сильнее предыдущего. Следовательно, в нём не может возникнуть ни одного степенного равенства, т. е. шестая степень большего числа сочетания трех чисел не разлагается на две степени меньших двух чисел с тем же показателем.

Это заключение может быть обосновано и доказано методом математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют определённые свойства последовательности степенных неравенств в степени n > 3;
2) из предположения о том, что этими свойствами обладают все степенные неравенства в степени n = k, вытекает, что этими свойствами они обладают и в степени n = k + 1. Это означает, что, вообще, при увеличении на 1 степени трёх чисел любое неограниченное число раз, до бесконечности, никакую степень n большего числа z на множестве натуральных чисел (1,2,3,4, … , z) невозможно разложить на две степени меньших двух чисел с тем же показателем. Следовательно, на множестве натуральных чисел множестве натуральных чисел (1,2,3,4, … , z) уравнение (1) , где n > 2 не имеет решений в целых числах.

На множестве натуральных чисел (1,2,3,4, … , z) не существует решений уравнения (1).

Пусть:
1) существуют с проявившимися основными свойствами сочетания трёх чисел из z чисел в степени n > 3;
2) из предположения о том, что указанными свойствами обладают все степенные неравенства в степени n = k, вытекает, что этими свойствам они обладают и в степени n = k + 1, при неограниченном возрастании степени. Следовательно, вообще, на множестве натуральных чисел не существует сочетания троек, которое представляло бы собой решение уравнения xn + y n = z n, если степень n – целое число большее двух.

D) Итак, все возможные сочетания трёх чисел из трёх первых натуральных чисел (1,2,3) ни в какой степени большей квадрата не образуют равенства.

Увеличение числа z = 3 на 1 и получение z = 4 увеличивает число возможных сочетаний троек чисел до шести членов и при возрастании степени n > 2 до бесконечности она не изменяет основных свойств образующихся степенных неравенств. Поэтому ни какую целую степень числа z = 4, большую квадрата, невозможно разложить на две степени двух меньших целых чисел с тем же показателем.

Увеличение числа z = 4 на 1 и получение z = 5 увеличивает число возможных сочетаний троек чисел до десяти членов и при возрастании степени n > 2 до бесконечности она не изменяет основных свойств образующихся степенных неравенств. Поэтому ни какую целую степень числа z = 5, большую квадрата, невозможно разложить на две степени двух меньших целых чисел с тем же показателем.

Увеличение числа z = 5 на 1 можно продолжить и повторить его увеличение на 1 сколь угодно много раз. Каждый раз при его увеличении на 1 будет увеличиваться число возможных сочетание троек чисел, будет увеличиваться число степенных усиливающихся неравенств, но не может возникнуть ни одного степенного равенства.

В данном случае в доказательстве теоремы можно воспользоваться методом математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть:
1) существуют усиливающиеся степенные неравенства в возрастающей до бесконечности целой степени и увеличивается число сочетаний трёх чисел при возрастании числа z;
2) из предположения о том, что постоянными свойствами обладают степенные неравенства на множестве натуральных чисел при z=m, вытекает, что этими свойствам они обладают и на множестве натуральных чисел при z = m + 1. Это значит, что на множестве натуральных чисел от 1 до z = m + 1 включительно при возрастании степени до бесконечности, не может возникнуть ни одного степенного равенства среди усиливающихся степенных неравенств.

Как известно, Эратосфен из бесконечного ряда натуральных чисел исключал составные числа, чтобы в результате оставались и остались только одни простые натуральные числа. Используя его метод, мною из бесконечного ряда натуральных чисел исключались числа, которые не являлись решениями уравнения (1) великой теоремы Ферма, чтобы в результате оставались и остались только одни решения уравнения великой теоремы Ферма. В результате у меня не оказалось ни одной тройки натуральных чисел, которые являлись бы решением уравнения (1) великой теоремы Ферма. В моём «решете» все клетки с натуральными числами оказались проткнутыми дырами.

Среди степенных усиливающихся неравенств не оказалось ни одного степенного равенства и поэтому не оказалось ни одного решения уравнения (1) в целых положительных числах при степени n > 2. И доказано, что, вообще, никакую целую степень, большую квадрата, произвольно взятого натурального числа невозможно разложить на две степени с тем же показателем.

Следовательно, великая теорема Ферма мною доказана методом Эратосфена во всей всеобщности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Во-первых, доказательство гипотезы Таниямы существует само по себе, вне какой-либо связи с доказательством великой теоремы Ферма и вне какой-либо связи с уравнениями Фрея.

Во-вторых, доказательство великой теоремы Ферма методом Эратосфена существует само по себе, вне какой-нибудь связи с доказательством гипотезы Таниямы и вне какой-нибудь связи с уравнениями Фрея.

В-третьих уравнения Фрея существуют только в представлении самого Фрея и вне какой-нибудь связи с доказательством гипотезы Таниямы и с доказательством великой теоремы Ферма.

В-четвёртых, Эндрю Уайлс пытался доказать великую теорему Ферма на основе уравнений Фрея методом от противного, которым её доказать невозможно. Теорема Ферма им не доказана.

В-пятых, утверждение некоторых профессиональных математиков о том, что Ферма не располагал доказательством своей теоремы, следует считать ошибочном утверждением, хотя бы потому, что мне, школьному учителю, удалось получить её доказательство методом элементарной математики. Поэтому Пьер де Ферма вполне мог открыть поистине чудесное, доказательство своей теоремы лучшим методом и в более совершенной форме.

Решето Эратосфена и доказательство теоремы Ферма: 2 комментария

  1. Формула (11) неверна:
    125 = 5*5*5 < 4*4*4 + 4*4*4 = 2*4*4*4 = 2*64 = 128
    Мои сожаления.

  2. Собственно, а где доказательство?:)

    Вы «почти» доказали истинность БТФ для оснований от 1 до 5.(Нужно, как минимум, показать что y=5^X-2*4^X возрастает)

    Осталось только доказать что при увеличении Z на 1 не меняются свойства вашей последовательности(?) неравенств.
    Проблема в том, что чем больше основание, тем больше будет неравенств таких, где степень «общего постоянного числа» будет меньше суммы степеней «особенных, переменных чисел» и доказать ваше предположение о том,что в последовательности неравенств не окажется равенства и есть суть БТФ:)

    Поясню:
    Для «общего постоянного числа» 100 и показателя степени 4
    100^4<99^4+99^4, 100^4<98^4+98^4, …….100^4n, БТФ будет выполняться, вашим способом можно.
    Для «общего постоянного числа» 100, такой степенью будет 69

Комментарии запрещены.