Решето Эратосфена и доказательство теоремы Ферма

Как известно, Эратосфен изготовил лист «бумаги» из воска и с помощью линейки провёл палочкой на нём на равном расстоянии параллельные горизонтальные и вертикальные линии. Он палочкой внутри клеток воскового листа написал натуральные числа в порядке их возрастания и стал палочкой протыкать составные числа, чтобы внутри клеток остались только простые числа, которые делятся только на два числа: на 1 и сами на себя. В результате Эратосфен получил в одних клетках в полной сохранности простые числа, а в других клетках на месте составных чисел оказались дырочки. Дырявый восковой лист с написанными на нём простыми числами получил название «решето Эратосфена». Читать далее «Решето Эратосфена и доказательство теоремы Ферма»

Доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры

Гипотеза Таниямы-Шимуры: «Каждой эллиптической кривой соответствует определённая модулярная форма».

Уравнения вида:

  y2 = x3 + ax2 + bx + c (1)

называются кубическими уравнениями эллиптических кривых, которые известны математикам с античных времён. На правой стороне уравнение имеет четыре члена. Но членов в нём может быть три, два и один. Особенностью уравнения можно считать то, что его правая сторона однозначно задаёт бесконечный ряд слагаемых специального вида. Бесконечный ряд его слагаемых называется Е-рядом Читать далее «Доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры»

Лейбниц — великий проект и попытка понять, как возникает новое знание

Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646 — 1716) — немецкий математик, юрист, философ, физик. Одно из направлений его исследований — создание универсального символического исчисления. Он рассчитывал  с его помощью обосновывать истинность любых суждений. Книга «Творцы математики» видного историка математики Э.Т. Белла знакомит нас с идеей великого проекта 20-летнего Лейбница создать «общий метод, с помощью которого все истины могут быть сведены к некоторому виду вычислений. Читать далее «Лейбниц — великий проект и попытка понять, как возникает новое знание»

Доказательство от противного — что представляет собой, когда используется

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме. «Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».

Читать далее «Доказательство от противного — что представляет собой, когда используется»

Пифагор, пифагорейцы и Зенон Элейский

Философия числа у Пифагора и пифагорейцев и сравнение ее с теорией Зенона Элейского и элеатов (элейцев)

Пифагор Самосский (570 — 490 гг. до н. э.) известен как основатель древнегреческой религиозно-философской школы. Пифагор и его последователи, представленные целым рядом исторических имён, проповедовали аскетический образ жизни, учение о числе, акустику, гармонию небесных сфер и переселение душ. Учение о числе выводит всё из чисел: небо было число, космос состоял из одних чисел, душа устроена из чисел. Числа у пифагорейцев вначале вообще не отличались от вещей, позже вещи отличались от чисел тем, что вещи и всё существующее были образом числа. Числа трактовались как сущности, принципы и причины вещей. Пифагорейцы делили числа на линейные, плоскостные, квадратные, прямоугольные и трёхмернотелесные. Читать далее «Пифагор, пифагорейцы и Зенон Элейский»

Доказательство теоремы Ферма — элементарное, простое, понятное

Пьер Ферма, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, имел привычку записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. Против восьмой задачи Диофанта на полях книги, Ферма записал:  «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки» /Э.Т.Белл «Творцы математики». М.,1979, стр.69 /. Предлагаю Вашему вниманию элементарное доказательство теоремы ферма, которое может понять любой старшеклассник, увлекающийся математикой.

Читать далее «Доказательство теоремы Ферма — элементарное, простое, понятное»

Задача Диофанта — описание и решение

В 1979 году мне удалось приобрести книгу в русском переводе «Творцы математики» известного американского историка математики Эрика Темпла Белла, изданную в США в 1937 году (Книгу в формате djvu можно скачать  здесь ). . В книге один из её очерков посвящён Пьеру Ферма как королю любителей математики. По утверждению Э.Т. Белла, Ферма имел привычку, читая «Арифметику» Диофанта Александрийского и размышляя над её задачами, записывать на полях книги результаты своих размышлений в виде кратких замечаний. На полях второй книги «Арифметики», комментируя восьмую задачу Диофанта, Ферма написал: Читать далее «Задача Диофанта — описание и решение»